Sejarah Matematika

BAB XVI
PENAFSIRAN BARU BILANGAN DAN BERHITUNG

    Secara garis besar pembahasan pengertian bilangan menyangkut tiga bidang yang besar.

1.            Pengertian filsafat bilangan dan berhitung.

2.            Pengertian bilangan dalam lingkungan bilangan terhingga.

3.  Pengertian bilangan dalam lingkungan bilangan yang menyangkut ketakhinggaan.

SISTEM BILANGAN

1.  Bilangan asli

Dimulai dari satu dan setiap kali bertambah besar sebesar satu sambil menuju ke tak hingga. Sistem bilangan asli dilambangkan dengan N yakni singkatan dari kata “Natur”.

2. Bilangan cacah

Merupakan bilangan yang dimulai dari bilangan 0 (nol) dan ditambahkan ke sistem bilangan asli. Bilangan ini digunakan untuk mencacah.

3. Bilangan bulat

Bilangan ini merupakan hasil dari penambahan bilangan negatif kedalam bilangan cacah. Sistem bilangan bulat dilambangkan dengan Z yakni singkatan dari kata “Zahl”.

4. Bilangan rasional

Menambahkan bilangan-bilangan pecahan baik positif maupun negatif ke sistem bilangan bulat. Sistem bilangan rasional dilambangkan dengan Q yakni singkatan dari kata “Quotient”.

5. Bilangan nyata

Apabila kepada sistem bilangan rasional kita tambahkan bilangan-bilangan irasional. Sistem bilangan nyata dilambangkan dengan R yakni singkatan dari kata “Real”.

6. Bilangan kompleks

Apabila pada sistem bilangan nyata kita tambahkan bilangan-bilangan khayal. Sistem bilangan kompleks dilambangkan dengan C yakni singkatan dari kata “Complex”.

 

Nama bilangan	Contoh	Sistem bilangan setelah bergabung dengan diatasnya
		Nama	Lambang
Asli Nol Negatif Pecahan Irasional khayal	1, 2, 3, 4, 5, … 0 …, -4, -3, -2, -1 ⅓‚ ⅖‚ -⅚,-⅞ √2,√17,∏,℮, i, 3i, ⅙ i, √5 i	Asli Cacah Bulat Rasional Nyata Kompleks	N Z Q R C

Unsur (elemen) adalah anggota yang membentuk sistem bilangan itu.

Pemetaan satu-terhadap-satu		Pemetaan banyak-terhadap-satu
Gugus isteri monogami	Gugus suami monogami	Gugus anak	Gugus ibu
Tini Lita Rima Wati	Budi Agus Hadi Marta	Gina Iwan Mita Sumi	Tini Lita Rima Wati

Suatu pemetaan yang memberikan kepada setiap pasangan berurut dalam suatu gugus sesuatu yang dipilih dari gugus yang sama disebut operasi biner. Misalkan pada gugus bilangan (1, 2, 3, 4, 5, 6,…) kita mengambil suatu pasangan berurut (2, 3) dan kepada pasangan berurut ini kita berikan 5 sehingga terjadi pemetaan

(2, 3)                      5

Pemetaan demikian disebut operasi biner tersebut kita kenal sebagai operasi penjumlahan

(2, 3)                    6

Operasi biner tersebut adalah operasi perkalian.

Operasi biner adalah operasi yang penting dalam berhitung. Seperti ditunjukkan pada contoh di atas operasi biner dapat berwujud operasi penjumlahan dan juga dapat berwujud operasi perkalian. Operasi biner dilambangkan dengan lambang -x-.

Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada operasi biner

Sifat	Bentuk operasi biner
1.  Komutatif 2.  Asosiatif 3.  Operasi biner -x- distributif terhadap operasi biner -x- 4.  Distributif yang komutatif	a x b = b  x  a (p  x  q)  x  r = p  x  (q  x  r) x  x  (y  x  z) = (x  x  y) x (x  x  z) x  x  (y  x  z) = (x  x  y)  x  (x  x  z) (y  x  z)  x  x = (y  x  x)  x  (z  x  x)

Lima hukum operasi berhitung (komutatif, asosiatif, dan distributif)

         I.     a + b = b + a ……..............komutatif

       II.     (a + b) +c = a + (b + c) …..asosiatif

    III.     a.b = b.a ……………………….komutatif

   IV.     (a.b).c = a.(b.c)……………..asosiatif

      V.     a.(b + c) = a.b + a.c           perkalian distributif

  (b + c).a = b.a + c.a           terhadap penjumlahan  (bersifat                 komutatif)                                    

Suatu grup adalah suatu sistem yang di dalamnya dapat kita lakukan penjumlahan dan pengurangan.

Suatu gelanggang adalah suatu sistem yang di dalamnya dapat kita lakukan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

Suatu medan adalah suatu sistem yang di dalamnya dapat kita lakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian kecuali pembagian dengan nol.

Suatu gugus unsur disebut sebagai suatu sistem bilangan asli apabila terdapat ciri-ciri,

1.       Di dalamnya terdapat unsur yang disebut 1.

2.       Untuk setiap anggota di dalam sistem ada anggota lain (dan hanya   satu) yang disebut pengurut (successor).

3.       Dua anggota yang berbeda tidak mempunyai pengurut yang sama.

4.       Tiada anggota dalam sistem yang mempunyai 1 sebagai pengurutnya.

Apabila suatu gugus unsur yang termasuk dalam sistem mengandung 1 dan untuk setiap anggota yang dikandungnya juga terkandung pengurutnya maka gugus ini mengandung seluruh system

Sifat-sifat bilangan asli                              

1.       Setiap selisih bilangan asli termasuk pada satu dan hanya satu bilangan bulat.

2.       Suatu bilangan bulat dapat dinyatakan oleh setiap selisih bilangan asli yang termasuk kepadanya.

3.       Patokan untuk keanggotaan dalam suatu bilangan bulat dapat dipergunakan sebagai suatu penguji untuk persamaan bilangan bulat.

Sifat-sifat bilangan rasional

1.       Setiap hasil bagi bilangan bulat termasuk pada satu dan hanya satu bilangan rasional.

2.       Suatu bilangan rasional dapat dinyatakan dengan setiap hasil bagi bilangan bulat yang termasuk kepadanya.

3.       Patokan untuk keanggotaan dalam suatu bilangan rasional dapat dipergunakan sebagai suatu penguji untuk kesamaan bilangan rasional.

4.       Pembagian bilangan rasional hanya membenarkan hasil-hasil tertentu sehingga pembagi nol tidak mempunyai arti.

Dasar berhitung dengan tafsiran baru bilangan itu dikemukakan oleh George Cantor pada tahun 1882-1883, salah satu hal pokok pada teorinya adalah tentang koleksi. Koleksi ini menjadi gugus atau himpunan untuk kemudian menjadi teori gugus atau teori himpunan yang kini banyak kita dengar.

Menyambut kehadiran matematika baru ini Ouspenky menyatakan bahwa sebenarnya kita memiliki dua matematika.

1.       Matematika bilangan terhingga dan tetap yang hanya meliputi satu bagian dari jagat raya.

2.       Matematika ketakhinggaan dan berbesaran berubah-ubah yang menampilkan sesuatu yang seluruhnya sejati serta dibangun atas penalaran yang berkaitan dengan dunia sejati dan bersama itu menampilkan dunia menurut apa adanya.